[개념] 플로이드 워셜 알고리즘

다익스트라 알고리즘은 '한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우' 에 사용할 수 있는 최단 경로 알고리즘이다. 다익스트라 알고리즘은 단계마다 최단 거리를 가지는 노드를 하나씩 반복적으로 선택한다. 그리고 해당 노드를 거쳐 가는 경로를 확인하며, 최단 거리 테이블을 갱신하는 방식으로 동작한다.

다익스트라 알고리즘은 출발 노드가 1개 이므로 다른 모든 노드까지의 거리를 저장하기 위해 1차원 리스트를 이용했다.  

 

 

반면, 플로이드 워셜 알고리즘은 '모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우' 에만 사용할 수 있는 알고리즘이다. 플로이드 워셜 알고리즘 또한 단계마다 '거쳐 가는 노드'를 기준으로 알고리즘을 수행한다. 하지만 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다.

노드의 개수가 N개일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행하며, 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 '현재 노드를 거쳐가는' 모든 경로를 고려한다. 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 O(N^3)이다.

플로이드 워셜 알고리즘은 모든 노드에서 다른 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 담아야 하므로 2차원 리스트를 사용한다.

 

 

 

 

 

 

 플로이드 워셜 알고리즘 

INF = int(1e9)

n = int(input())    # 노드의 개수
m = int(input())    # 간선의 개수

graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)]

for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        if a==b:
            graph[a][b] =0

for _ in range(m):
    a,b,c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

for k in range(1, n+1):
    for a in range(1, n+1):
        for b in range(1, n+1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b] , graph[a][k] + graph[k][b])


for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        if graph[a][b] == INF :
            print("INFINITY", end=" ")
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()

 

 

 

입력	출력
4 7 1 2 4  1 4 6 2 1 3 2 3 7 3 1 5 3 4 4  4 3 2	0 4 8 6  3 0 7 9  5 9 0 4  7 11 2 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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1번. 미래도시

방문 판매원 A는 많은 회사가 모여 있는 공중 미래 도시에 있다. 공중 미래 도시에는 1번부터 N번 까지의 회사가 있는데 특정 회사끼리는 서로 도로를 통해 연결되어 있다. 방문 판매원 A는 현재 1번 회사에 위치해 있으며, X번 회사에 방문해 물건을 판매하고자 한다.
공중 미래 도시에서 특정 회사에 도착하기 위한 방법은 회사끼리 연결되어 있는 도로를 이용하는 방법이 유일하다. 또한 연결된 2개의 회사는 양방향으로 이동할 수 있다. 공중 미래 도시에서의 도로는 마하의 속도로 사람을 이동시켜 주기 때문에 특정 회사와 다른 회사가 도로로 연결되어 있다면, 정확히 1만큼의 시간으로 이동할 수 있다.
또한 오늘 방문 판매원 A는 기대하던 소개팅에도 참석하고자 한다. 소개팅의 상대는 K번 회사에 존재한다. 방문 판매원 A는 X번 회사에 가서 물건을 판매하기 전에 먼저 소개팅 상대의 회사에 찾아가서 함께 커피를 마실 예정이다. 따라서 방문 판매원 A는 1번 회사에서 출발하여 K번 회사를 방문한 뒤, X번  회사로 가는 것이 목표다. 이때 방문 판매원 A는 가능한 한 빠르게 이동하고자 한다. 방문 판매원이 회사 사이를 이동하게 되는 최소 시간을 계산하는 프로그램을 작성하시오. 이때, 소개팅의 상대방과 커피를 마시는 시간은 고려하지 않는다고 가정한다.

입력 조건
첫째 줄에 전체 회사의 개수 N과 경로의 개수 M이 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다.
( 1<= N, M <= 100)
둘째 줄부터 M + 1 번째 줄에는 연결된 두 회사의 번호가 공백으로 구분되어 주어진다.
M + 2번째 줄에는 X와 K가 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다.

출력 조건
최소 이동 시간을 출력하고, 도달할 수 없다면 -1을 출력한다.

 

 

 

 

 

< 풀이 >

이 문제는 전형적인 플로이드 워셜 알고리즘 문제이다. 현재 문제에서 N의 범위가 100 이하로 매우 한정적이다. 따라서 플로이드 워셜 알고리즘을 이용해도 빠르게 풀 수 있기 때문에, 구현이 간단한 플로이드 워셜 알고리즘을 이용하는 것이 유리하다. 

 

 

 

 

< 코드 >

INF = int(1e9)

n, m = map(int,input().split())

graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)]

for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        if a==b:
            graph[a][b] =0

for _ in range(m):
    a,b = map(int, input().split())
    graph[a][b] = 1
    graph[b][a] = 1

for k in range(1, n+1):
    for a in range(1, n+1):
        for b in range(1, n+1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b] , graph[a][k] + graph[k][b])

x, k = map(int, input().split())

result = graph[1][k] + graph[k][x]
if result<INF:
    print(result)
else:
    print("-1")

 

 

 

 

 

 

 

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2번. 전보

어떤 나라에는 N개의 도시가 있다. 그리고 각 도시는 보내고자 하는 메시지가 있는 경우, 다른 도시로 전보를 보내서 다른 도시로 해당 메시지를 전송할 수 있다. 하지만 X라는 도시에서 Y라는 도시로 전보를 보내고자 한다면, 도시 X에서 Y로 향하는 통로가 설치되어 있어야 한다. 예를 들어, X에서 Y로 향하는 통로는 있지만, Y에서 X로 향하는 통호가 없다면 Y는 X로 메시지를 보낼 수 없다.

어느 날 C라는 도시에서 위급 상황이 발생했다. 그래서 최대한 많은 도시로 메시지를 보내고자 한다. 메시지는 도시 C에서 출발하여 각 도시 사이에 설치된 통로를 거쳐, 최대한 많이 퍼져나갈 것이다. 각 도시의 번호와 통로가 설치되어 있는 정보가 주어졌을 때, 도시 C에서 보낸 메시지를 받게되는 도시의 개수는 총 몇 개이며, 도시들이 모두 메시지를 받는 데까지 걸리는 시간은 얼마인지 계산하는 프로그램을 작성하시오.

입력 조건
첫째 줄에 도시의 개수 N, 통로의 개수 M, 메시지를 보내고자 하는 도시 C가 주어진다.
( 1 <= N <= 30000, 1<= M <= 200000)
둘째 줄부터 M + 1 번째 줄에 걸쳐서 통로에 대한 X, Y, Z 가 주어진다.
이는 특정 도시 X에서 다른 특정 도시 Y로 이어지는 통로가 있으며, 메시지가 전달되는 시간이 Z라는 의미다.

출력 조건
첫째 줄에 도시 C에서 보낸 메시지를 받는 도시의 총 개수와 총 걸리는 시간을 공백으로 구분하여 출력한다.

 

 

< 풀이 >
이 문제는 한 도시에서 다른 도시까지의 최단 거리 문제로 치환할 수 있으므로 다익스트라 알고리즘을 이용해서 풀 수 있다. 또한, N과 M의 범위가 충분히 크기 때문에, 우선순위 큐를 이용하여 다익스트라 알고리즘을 작성해야 한다. 

 

 

 

 

 

< 코드 >

import heapq
import sys

input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

n, m, start = map(int, input().split())

graph = [[] for i in range(n+1)]
distance = [INF] *(n+1)

for _ in range(m):
    x, y, z = map(int, input().split())
    graph[x].append((y,z))

def dijkstra(start):
    q = []
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q:
        dist, now = heapq.heappop(q)
        if distance[now] < dist:
            continue
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

dijkstra(start)

count = 0
max_distance = 0

for d in distance:
    if d!= INF:
        count +=1
        max_distance = max(max_distance, d)

print(count - 1, max_distance)