[개념] 다익스트라 알고리즘

간단한 다익스트라 알고리즘은 O(V^2)의 시간 복잡도를 가진다. ( V는 노드의 개수 )

 

 

✔ 방법 1  <간단한 다익스트라 알고리즘 소스 코드>

 

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

# 노드의 개수, 간선의 개수 입력 받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력 받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결 되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트 만들기
visited = [False] * (n+1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int,input().split())   # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index =0
    for i in range(1, n+1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            index = i
            min_value = distance[i]
    return index


def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n-1 개의 노드에서 반복
    for i in range(n-1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        #현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost


# 다익스트라 알고리즘 실행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    else:
        print(distance[i])

<입력>	<출력>
6 11 1 1 2 2 1 3 5 1 4 1 2 3 3 2 4 2 3 2 3 3 6 5 4 3 3 4 5 1 5 3 1 5 6 2	0 2 3 1 2 4

 

 

간단한 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도

앞서 시간 복잡도는 O(V^2)이라 했다. 왜냐하면 총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 하고, 현재 노드와 연결된 노드를 매번 일일이 확인하기 때문이다.

 

 

 

 

 

 

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✔  방법 2. 개선된 다익스트라 알고리즘

 

개선된 다익스트라 알고리즘은 시간 복잡도를 O(ElogV)로 낮출 수 있다. (여기서, E는 간선의 개수, V는 노드의 개수이다.)

최단 거리가 가장 짧은 노드를 단순히 선형적으로 찾는 것이 아니라 힙 자료구조를 이용해 더욱 빠르게 찾는 방식이다.

힙 자료구조는 우선순위 큐를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나이다. 우선순위 큐는 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제한다는 점이 특징이다. 

 

 

 

최소 힙을 사용하는 경우, 힙에서 원소를 꺼내면 가장 값이 작은 원소가 추출되는 특징이 있다.

import heapq

nums = [4, 1, 7, 3, 8, 5]
heap = []

for num in nums:
  heapq.heappush(heap, (num, num))  # (우선 순위, 값)

while heap:
  print(heapq.heappop(heap)[1])
  
  
 # 1 3 4 5 7 8 순으로 출력

 

 

 

 

개선된 다익스트라 알고리즘이 O(ElogV)의 시간 복잡도를 가지는 이유 : 힙의 삽입 시간과 삭제 시간은 각각 O(logN)이다. 삽입할 때는 O(logN)을 N번 반복하므로, O(NlogN)이고, 삭제할 때에도 N번 반복하므로 O(NlogN)이다. 따라서, 전체 연산 횟수는 2NlogN으로, 빅오 표기법에 의해 O(NlogN)이다. 

import heapq
import sys

input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력 받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력 받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))


def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q:
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    else:
        print(distance[i])